за-дре-мать
Глагол, совершенный вид, непереходный, тип спряжения по классификации А. Зализняка - 6c. Соответствующий глагол несовершенного вида - задрёмывать.
Приставка: за-; корень: -дрем-; суффикс: -а; глагольное окончание: -ть [Тихонов, 1996].
начать дремать; впасть в дремоту; заснуть лёгким сном
Источник: ru.wiktionary.orgДрейк, который успел задремать, протер глаза и выпрямился. Источник: Интернет
Кажется, с этой мыслью я успела задремать, потому что стук в дверь квартиры ощущался мне стуком по голове. Источник: Интернет
Засыпать Най не засыпала, но вот задремать в таком положении вполне могла. Источник: Интернет
doze off