ав-гус-тей-ший
Прилагательное, тип склонения по классификации А. Зализняка - 4aX.
Корень: -август-; суффикс: -ейш; окончание: -ий [Тихонов, 1996].
являющийся членом императорской семьи
Источник: ru.wiktionary.org- Они оба в гостях в Дании, с ними же и августейшая мать государя, Мария Фёдоровна. М. А. Булгаков, «Белая гвардия», 1923-1924 г. [НКРЯ] Источник: Интернет
В 1759 году он отозван был в своё отечество, а в 29 день июня последовавшего года императрица благоволила вверить ему надзирание над воспитанием великого князя Павла Петровича, важную должность, которую он беспрерывно исправлял до самого бракосочетания августейшего его питомца. Д. И. Фонвизин, «Жизнь графа Никиты Ивановича Панина», 1784 г. [НКРЯ] Источник: Интернет
Здесь же в первый раз Арефа услыхал, что проявился в казаках не прост человек, прозвищем Пугач, и что этот человек принял на себя августейшую персону государя Петра III. Д. Н. Мамин-Сибиряк, «Охонины брови», 1892 г. [НКРЯ] Источник: Интернет
Вэнь-чан ди-цзюнь (Августейший Владыка Письменности/Культуры) споспешествует просвещению, в том числе сдаче экзаменов на право занятия чиновничьих должностей. Источник: Интернет
Достойным завершением этой работы явилась научная конференция, состоявшаяся в стенах Академии Наук, где в 1889-1915 гг. председательствовал ее Августейший Президент. Источник: Интернет
На панихиду приехали из Санкт-Петербурга Августейший отец воина, Великий Князь Константин Константинович, его державная супруга Елизавета Маврикиевна и трое старших Августейших братьев героя: Иоанн, Гавриил и Константин. Источник: Интернет
august