Деепричастие
Слово происходит от выгуливать
Собака гуляла с хозяином В темное время суток выгуливая собаку хозяин не заметил открытый люк и животное провалилось в него. Источник: Интернет
Собаководам советуют быть очень бдительными, выгуливая своих питомцев. Источник: Интернет