Деепричастие
Слово происходит от набросить
Выбежала на улицу буквально в одной рубашке, набросив пальто, и уже больше в неё не вернулась. Источник: Интернет
Набросив поверх рубахи кожаный налатник, встряхивая мокрыми волосами, он кивком поприветствовал бойцов, отдающих ему честь – ему, юнцу, мало чем отличающемуся от других таких же семнадцатилетних долговязых щеглов с ранней щетиной на щеках. Источник: Интернет
Рассерженный Виктор сорвался с места и, даже не набросив на себя куртки (в подъезде было прохладно), отправился разбираться с соседом. Источник: Интернет