1. Баю - Существительное
Происходит от бай
2. Баю - Глагол
Происходит от бают
3. Баю - Междометие
Н. А. Баскаков (1979, с. 252 — 253) даёт следующую этимологию фамилии и имени: Разгильдеев от Ораз — Ураз гелди «счастье пришло», Баюш от Баю «богатеть», Баюш “богатство”. Источник: Интернет
Ну, ну, ну… О, о, о! Баю, бай… Я не баба. Источник: Интернет